PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS
SUCESOS COMPATIBLES
SUCESOS COMPATIBLES
Para calcular la probabilidad de la unión de sucesos, debemos mirar si son incompatibles o incompatibles.
La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es:
P(A∪B)=P(A)+P(B)
Ejemplo: alcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.
La probabilidad de la unión de sucesos compatibles es:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.
Fijémonos que cuando los sucesos son incompatibles, P(A∩B)=0, por lo que la segunda fórmula siempre es cierta.
PROBABILIDAD CONDICIONADA
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Ejemplo: calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.
SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Decimos que los sucesos A y B son independientes si P(A/B)=P(A), o de forma equivalente, si sustituimos en la fórmula anterior, si P(A∩B)=P(A)⋅P(B)
Si esto NO ocurre, entonces los sucesos A y B son dependientes.
Ejemplo:
Haciendo una encuesta telefónica, hemos preguntado a 1000 personas si creían necesario que hubiera más iluminación en la calle por la noche.
Nos han respondido 480 hombres, de los cuales 324 han respondido que sí, y 156 que no, y 520 mujeres, de las cuales 351 han respondido que sí, y 169 que no. Nos preguntamos si hombres y mujeres tienen una opinión diferente, o bien si es irrelevante para la cuestión.
Para ver más claramente lo que nos dicen, lo mejor es colocar los datos en una tabla:
Sí No
Hombres 324 156
Mujeres 351 169
Consideremos los sucesos A="querer más luz (haber respondido sí)", B="que haya respondido un hombre".
Nos preguntamos si A y B son independientes, es decir, si el hecho de querer más luz depende de si se es hombre o mujer.
Calculemos las probabilidades:
P(A)= 324+351 = 675
1000 1000
por la regla de Laplace (son todos los que han respondido que sí, sumando hombres y mujeres).
P(B)= 480
1000
los hombres que nos han respondido entre el total de llamadas.
P(A∩B)= 324
1000
los que son hombres y han respondido que sí.
Se cumple que:
324 = 675 . 480
1000 1000 1000
es decir que P(A∩B)=P(A)⋅P(B)
por lo que los sucesos son independientes. En otras palabras, el hecho de ser hombre o mujer no ha influido para saber si quieren o no más luz.
Nos han respondido 480 hombres, de los cuales 324 han respondido que sí, y 156 que no, y 520 mujeres, de las cuales 351 han respondido que sí, y 169 que no. Nos preguntamos si hombres y mujeres tienen una opinión diferente, o bien si es irrelevante para la cuestión.
Para ver más claramente lo que nos dicen, lo mejor es colocar los datos en una tabla:
Sí No
Hombres 324 156
Mujeres 351 169
Consideremos los sucesos A="querer más luz (haber respondido sí)", B="que haya respondido un hombre".
Nos preguntamos si A y B son independientes, es decir, si el hecho de querer más luz depende de si se es hombre o mujer.
Calculemos las probabilidades:
P(A)= 324+351 = 675
1000 1000
por la regla de Laplace (son todos los que han respondido que sí, sumando hombres y mujeres).
P(B)= 480
1000
los hombres que nos han respondido entre el total de llamadas.
P(A∩B)= 324
1000
los que son hombres y han respondido que sí.
Se cumple que:
324 = 675 . 480
1000 1000 1000
es decir que P(A∩B)=P(A)⋅P(B)
por lo que los sucesos son independientes. En otras palabras, el hecho de ser hombre o mujer no ha influido para saber si quieren o no más luz.
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