El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso.
Podemos calcular la probabilidad de un suceso A, sabiendo además que ese A cumple cierta característica que condiciona su probabilidad. El teorema de Bayes entiende la probabilidad de forma inversa al teorema de la probabilidad total. El teorema de la probabilidad total hace inferencia sobre un suceso B, a partir de los resultados de los sucesos A. Por su parte, Bayes calcula la probabilidad de A condicionado a B.
Para calcular la probabilidad tal como la definió Bayes en este tipo de sucesos, necesitamos una fórmula. La fórmula se define matemáticamente como:
Donde B es el suceso sobre el que tenemos información previa y A(n) son los distintos sucesos condicionados. En la parte del numerador tenemos la probabilidad condicionada, y en la parte de abajo la probabilidad total. En cualquier caso, aunque la fórmula parezca un poco abstracta, es muy sencilla. Para demostrarlo, utilizaremos un ejemplo en el que en lugar de A(1), A(2) y A(3), utilizaremos directamente A, B y C.
EJEMPLO: Tenemos tres urnas distintas: U1 con 5 bolas rojas y 3 azules, U2 con 3 bolas rojas y 2 azules y U3 con 2 bolas rojas y 4 azules. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraida de la urna U2?
Sean los sucesos R = {Sacar bola roja} y A = {Sacar bola azul}. En el diagrama de árbol podemos ver las distintas probabilidades de que ocurran R o A para cada una de las 3 urnas.
La probabilidad pedida es P(U2/A). Utilizando la regla de Bayes, tenemos:
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Sea A1,A2,…,An un sistema completo de sucesos y B un suceso cualquiera asociado al mismo experimento. Entonces, se cumple que:
P(B)=P(A1)⋅P(B/A1)+P(A2)⋅P(B/A2)+…+P(An)⋅P(B/An)
Tenemos tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, y tan sólo una fundida, y en la tercera hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que si escogemos una caja al azar, y cogemos una bombilla, ésta esté fundida?
Escribiremos C1, C2, C3 si escogemos las cajas 1, 2, y 3, respectivamente.
Como la elección es al azar, tenemos probabilidad 1de escoger cada caja.
3
El suceso que nos interesa es F= "bombilla fundida", por lo que F = "bombilla no fundida".
Lo representamos en un diagrama en árbol:
Están marcadas en naranja las tres ramas que nos interesan, las que acaban en "bombilla fundida".
(C1,C2,C3) es un sistema completo de sucesos, ya que siempre escogeremos una de las tres cajas (es decir, su unión es el total), y no podemos escoger más de una (es decir, son incompatibles dos a dos).
Aplicamos, pues, el teorema de la probabilidad total:
P(F)=P(C1)⋅P(F/C1)+P(C2)⋅P(F/C2)+P(C3)⋅P(F/C3)
= 1 . 4 + 1 . 1 + 1 . 3 = 4 + 1 + 3 = 113
3 10 3 6 3 8 30 18 24 360
Como vemos, aplicar el teorema de la probabilidad total no es otra cosa que calcular la probabilidad mediante un diagrama de árbol.
Lo único con lo que tenemos que ir con cuidado es a la hora de calcular las probabilidades de cada rama.
PROBABILIDAD COMPUESTA O DE LA INTERSECCIÓN DE SUCESOS
Probabilidad de la intersección de sucesos independientes:
Se conoce también como la Regla de multiplicación de probabilidades. La probabilidad de ocurrencia simultánea de dos sucesos “A y B” se denota P(A∩B), y se deriva de la probabilidad condicionada, matemáticamente:
Si A y B son sucesos independientes, entonces,
Sean A1, A2, A3, … , An sucesos independientes entre sí, entonces,
EJEMPLO:
En una caja hay 5 bolas: 3 azules y 2 verdes. Se extrae una bola, se anota el color y se repite el mismo proceso otra vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 bolas azules?.
¿Cuál es la probabilidad de que la 1ª sea verde y la 2ª azul?
a) Con devolución
b) Sin devolución
a) Probabilidad de sucesos independientes
b) Probabilidad de sucesos dependientes
jueves, 24 de mayo de 2018
EXPERIMENTOS COMPUESTOS
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples.
Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.
En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos.
EJEMPLO: Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
1 Seleccionar tres niños.
solución
2 Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
solución
3 Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
solución
4 Seleccionar tres niñas.
solución
PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS SUCESOS COMPATIBLES
Para calcular la probabilidad de la unión de sucesos, debemos mirar si son incompatibles o incompatibles.
La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es:
P(A∪B)=P(A)+P(B)
Ejemplo: alcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.
La probabilidad de la unión de sucesos compatibles es:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Ejemplo:Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.
Fijémonos que cuando los sucesos son incompatibles, P(A∩B)=0, por lo que la segunda fórmula siempre es cierta.
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B) o P(A/B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Ejemplo: calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.
SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Decimos que los sucesos A y B son independientes si P(A/B)=P(A), o de forma equivalente, si sustituimos en la fórmula anterior, si P(A∩B)=P(A)⋅P(B) Si esto NO ocurre, entonces los sucesos A y B son dependientes. Ejemplo:
Haciendo una encuesta telefónica, hemos preguntado a 1000 personas si creían necesario que hubiera más iluminación en la calle por la noche. Nos han respondido 480 hombres, de los cuales 324 han respondido que sí, y 156 que no, y 520 mujeres, de las cuales 351 han respondido que sí, y 169 que no. Nos preguntamos si hombres y mujeres tienen una opinión diferente, o bien si es irrelevante para la cuestión. Para ver más claramente lo que nos dicen, lo mejor es colocar los datos en una tabla: Sí No Hombres324156 Mujeres351169 Consideremos los sucesos A="querer más luz (haber respondido sí)", B="que haya respondido un hombre". Nos preguntamos si A y B son independientes, es decir, si el hecho de querer más luz depende de si se es hombre o mujer. Calculemos las probabilidades: P(A)= 324+351 = 675 1000 1000 por la regla de Laplace (son todos los que han respondido que sí, sumando hombres y mujeres). P(B)= 480 1000
los hombres que nos han respondido entre el total de llamadas. P(A∩B)= 324 1000
los que son hombres y han respondido que sí. Se cumple que: 324 = 675 . 480 1000 1000 1000
es decir que P(A∩B)=P(A)⋅P(B) por lo que los sucesos son independientes. En otras palabras, el hecho de ser hombre o mujer no ha influido para saber si quieren o no más luz.
miércoles, 23 de mayo de 2018
OPERACIONES CON SUCESOS
DISTINTOS TIPOS DE SUCESOS
En una urna hay diez bolas numeradas del 1 al 10, se extrae una bola al azar y se anota el numero.
Sucesos elementales: están formados por un único punto muestral, es decir, por un único resultado del experimento aleatorio.
ejemplo: sacar la bola numero 4.
Suceso seguro: esta formado por todos los posible resultados. Por ello se representa por E.
ejemplo: sacar una bola con un numero inferior a 12.
Suceso imposible:aquel que no se puede realizar
ejemplo: sacar una bola con un numero negativo. Ø
suceso contrario:El suceso contrario = E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular suceso contrario .
A = {2, 4, 6}= {1, 3, 5}
UNIÓN DE SUCESOS
Se llama suceso union A y B el que se produce cuando se realiza A o B, es decir, alguno de los dos y se designa por A U B.
A = salir un numero impar = {1,3,5}
B = salir un numero primo = {2,3,5}
ejemplo: salir un numero impar o un numero primo C = {1,2,3,5}
INTERSECCIÓN DE SUCESOS
Se llama suceso intersección de A y B el que se produce cuando se realizan simultanemente los sucesos A y B y se designa por A ΠB.
ejemplo: D = salir un numero impar y un numero primo = {3,5}
SUCESOS COMPATIBLES E INCOMPATIBLES
Si la intersección de dos sucesos es el suceso imposible es decir dichos sucesos son incompatibles
si A y B son sucesos del mismo experimento aleatorio, se tiene que:
Si A Π B = Ø, A y B son incompatibles
Si A Π B ǂ Ø, A y B son compatibles
ejemplo: se consideran dos sucesos
A = salir un numero impar = {1,3,5}
X = salir un multiplo de 4 = {4}
es evidente que A Π B = Ø, es decir q el suceso es imposible y por tanto A y B son incompatibles.
DIFERENCIA DE SUCESOS
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.
EXPERIMENTO ALEATORIO ESPACIO MUESTRAL
Un espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Cuando Usted lanza una moneda, solamente hay dos resultados posibles cara ( C ) o sello ( S ) así el espacio muestral para el experimento de lanzar una moneda es { C, T }.
Cualquier subconjunto de resultados posibles para un experimento es conocido como un evento . Cuando un evento es un solo elemento del espacio muestral, puede ser llamado un evento sencillo . { C } y { S } son eventos sencillos para el experimento de lanzar una moneda.
SUCESO ALEATORIO
Un suceso aleatorio es un subconjunto del espacio muestral, esto es, un conjunto de resultados posibles del experimento aleatorio.Es un experimento aleatorio si puede dar lugar a varios resultados y de antemano no se puede saber cuál de ellos va a ocurrir. Por ejemplo, lanzar un dado, extraer una bola de una urna, etc.
TÉCNICAS DE CONTEO
Son aquellas usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
CLASES DE TÉCNICAS DE CONTEO
PERMUTACIONES: En matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto ordenado sin elementos repetidos. Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación.
COMBINACIONES:
Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
No influye el orden en que se colocan, si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.
Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?
Herramienta que se utiliza para determinar si en realidad en el cálculo de muchas probabilidades se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con el diagrama de árbol.
PROBABILIDADES
La probabilidad es una medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0 % y 100 %).
Una forma tradicional de estimar algunas probabilidades sería obtener la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de experimentos aleatorios, de los que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. Un suceso puede ser improbable (con probabilidad cercana a cero), probable (probabilidad intermedia) o seguro (con probabilidad uno).
Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.
Regla de la adición
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Entonces, si A y B son mutuamente excluyentes
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)
Si A y B no son mutuamente excluyentes,
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A, P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B, y P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.
Regla de la multiplicación
La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.
P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes.
P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes.
siendo P (B|A) la probabilidad de que ocurra B habiéndose dado o verificado el evento A.
Un lote contiene "100" objetos de los cuales "20" son defectuosos. Los objetos son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos objetos son seleccionados sin reemplazo (significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos?
entonces dos objetos seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento A1∩ A2 que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada se tiene que:
P (A1) = 20/100 ; P (A2/A1) = 19/99
así probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos es
P (A1 ∩ A2) = P (A1) P (A2/A1)
(20/100)(19/99)
19/495 = 0.038
Ahora suponga que selecciona un tercer objeto, entonces la probabilidad de que los tres objetos seleccionados sean defectuosos es
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) P (A2/A1) P (A3/A1∩A2)
(20/100)(19/99)(18/98)
19/2695 = 0.007
Distribución binomial
La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, que se suelen designar como éxito y fracaso.
Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.
La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.
La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.
Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bernoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p).
Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:
Donde es el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos.
= E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.
